Fondamenti teorici e filosofici di Armodue
"La serie degli armonici, che a volte viene chiamata accordo di natura, è qualcosa di più di un fatto meramente fisico; rappresenta anche rapporti intervallari che rispondono in gran parte ai nostri bisogni in campo musicale […] Per quanto il sistema temperato (oppure, a questo proposito, anche il sistema pitagorico, o qualunque altro non temperato) possa essere sistematico e semplificatore, si tratta pur sempre di una soluzione pratica, e quindi parziale, del problema dell’accordatura musicale.
Il temperamento equabile quindi […] è incompleto come fondamento teorico dello studio della musica"
Walter Piston, Armonia, I manuali EDT/SidM, 1989, pag. 536.

"Ti sei schermito contro la ‘settima minore’ […].
La settima minore non ha certo accordi e base sensibile: essa è la guida divina, la mediatrice tra la natura sensibile e quella celeste: è soprasensibile, conduce nel mondo degli spiriti […] 
S’è fatta suono, per dare lo spirito ai suoni, e se mancasse essa, tutti i suoni dovrebbero rimanere nell’antinferno […] Soltanto mediante la settima l’irrigidito mondo dei suoni vien liberato e diventa musica, spirito in perpetuo moto, ciò che costituisce veramente il paradiso.
La musica è il medium dello spirito, onde il sensibile si fa spirituale… e come la redenzione si estende a tutti quelli che sono afferrati dallo spirito vivente della divinità, anelano alla vita eterna, così, la settima, mediante la sua soluzione, guida tutte le note, che vanno a lei e la pregano di redimerle, e le adduce per mille vie diverse alla loro origine, allo spirito divino […] 
Non curarti dei gusci vuoti, onde gli spiriti pennuti hanno preso il volo…Non curarti né della terza né della quinta, né di tutta la parentela delle tonalità maggiori e minori".
Bettina Brentano, Carteggio di Goethe con una bimba, trad. it. di G. Necco, Milano, 1932.

Il problema fondamentale di ogni sistema di accordatura presumibilmente è quello di conciliare gli intervalli naturali (formati dalle armoniche di più bassa numerazione), verso i quali tendono spontaneamente il nostro orecchio e la nostra voce, con l’esigenza di dividere l’ottava in parti proporzionali (adottando la stessa distanza tra i gradi adiacenti della scala: è il concetto delle scale equalizzate), allo scopo di rendere funzionale e praticabile l’intero sistema scalare. 
In altri termini, si tratta di trovare un compromesso tra gli intervalli formati dalle armoniche combinate tra loro e gli intervalli che possono risultare da un scala equalizzata, che suddivide l’ottava in parti proporzionali. La difficoltà più grande è lampante se si osservano le armoniche nella loro successione: gli intervalli tra un'armonica e l’armonica successiva vanno via via restringendosi quanto più si procede ascendendo nella serie. 
Ad esempio l’intervallo tra la quinta e la quarta armonica, prossimo a una terza maggiore, non si ripete mai più tra due armoniche consecutive; difatti tra la sesta e la quinta armonica vi è un intervallo vicino a una terza minore, tra la settima e la sesta armonica c’e un intervallo a metà strada tra due e tre semitoni e così di seguito decrescendo sempre più di ampiezza. La serie delle armoniche sembra suggerire scale tutt’altro che equalizzate. 
Al grande problema dell’accordatura, che può trovare molte – forse infinite - soluzioni ugualmente valide, Armodue risponde con la scala equalizzata di sedici note. 
In Armodue, il rapporto di frequenza 2:1 - che corrisponde all’ottava nel sistema dodecatonico - viene ripartito proporzionalmente in sedici classi di altezza; tra un grado ed il consecutivo nella scala cromatica di Armodue vi è il rapporto di frequenza corrispondente alla radice sedicesima di due (quantificabile in 75 cents = un eka).

L’efficacia o validità del sistema temperato dodecatonico in ultima analisi è dovuta a due fattori. 
Il primo fattore è la possibilità di riprodurre in modo piuttosto fedele (con lieve diversità di intonazione) gli intervalli naturali di quinta, quarta, terza e sesta maggiore e minore, cioè tutti gli intervalli che si possono formare con le prime sei armoniche della serie. La pretesa perfezione della triade maggiore, in particolare, è stata fatta discendere dalle armoniche: la quarta, la quinta e la sesta armonica costruiscono su una prima armonica fondamentale un accordo prossimo all’accordo maggiore temperato. 
Il secondo fattore è il ciclo delle quinte, di matrice pitagorica, all’origine delle scale diatoniche. Il ciclo della quinte è una progressione geometrica delle frequenze in ragione del rapporto di 3/2. Nel sistema temperato, il ciclo delle quinte viene rettificato in modo tale che il tredicesimo termine corrisponda esattamente ad un’ottava superiore del primo termine. 
Se il ciclo delle quinte non fosse rettificato, iniziando da un do si arriverebbe al tredicesimo termine si# non corrispondente come frequenza ad un altro do di un’ottava superiore, bensì crescente di circa un ottavo di tono rispetto a tale do (comma pitagorico). Così nel sistema temperato ad ogni quinta naturale (rapporto 3/2) si sottrae un dodicesimo di comma pitagorico, equipartendo lo scarto – cioè il comma - in modo omogeneo tra i dodici termini del ciclo. La quinta naturale di 702 cents diviene la quinta temperata di 700 cents sottraendo un dodicesimo di comma (il comma pitagorico è di circa 24 cents). Ecco la progressione di Pitagora (la serie delle quinte naturali):

Dunque la divisione dell’ottava in dodici parti è fondata sul rapporto di frequenza 3/2; per l’inversa proporzionalità, prendendo una corda che intoni il do e premendola a 2/3 della sua lunghezza si ottiene il sol una quinta sopra; procedendo con le suddivisioni, i 2/3 della sezione di corda che dava il sol (ovvero i 4/9 della lunghezza totale della corda) intonano il re, con 8/27 (2/3 elevato al cubo) della corda totale si ottiene il la e così di seguito di suddivisione in suddivisione, fino al si#.

Se gli intervalli di quinta, quarta, terza e sesta naturali formati con le prime sei armoniche della serie hanno il loro riscontro nel sistema dodecatonico, Armodue si basa sulla prima armonica della serie che non trova riscontro nel sistema a dodici note: la settima armonica. 
La settima armonica forma con la quarta armonica (la quarta armonica è un duplicato in ottava della armonica fondamentale) un intervallo che non ha equivalenti nel sistema dodecatonico. 
Tale intervallo corrisponde a 968,83 cents. 
Affermare che il rapporto intervallare 7/4 ha il suo corrispettivo nella settima minore temperata è decisamente una forzatura. 
La settima minore temperata infatti ha un’ampiezza di 1000 cents; la differenza (31,17 cents) è davvero troppo grande per poter equiparare i due intervalli: l’intervallo formato dalla settima e quarta armonica è più piccolo di circa un terzo di semitono della settima minore temperata. 
La quinta naturale di 702 cents (rapporto 3/2) si può in pratica equiparare alla quinta temperata di 700 cents; è ancora tollerabile equiparare il rapporto 5/4 (tra la quinta e quarta armonica) quantificato in 386,14 cents ad una terza maggiore temperata di 400 cents; è accettabile ricondurre il rapporto 6/5 (tra la sesta e quinta armonica) – uguale a 315,64 cents ad una terza minore temperata di 300 cents. 
Ma è inammissibile pretendere che la settima minore temperata sia equivalente all’intervallo tra la settima e la quarta armonica. In verità, con la settima armonica si esula dal sistema a dodici note. Le armoniche dalla settima in poi sono indicatrici di un sistema scalare diverso dal sistema dodecatonico. 

Armodue è fondato sulla progressione geometrica delle frequenze in ragione del rapporto di 7/4. Il rapporto intervallare di 7/4 viene riportato progressivamente fino a dare sedici termini. Con le opportune rettificazioni, il diciassettesimo termine risulta essere un’esatta ripetizione su un’ottava superiore del primo termine. 

L’intervallo formato dalla settima e quarta armonica ha il suo equivalente in Armodue: in tale sistema esso corrisponde all’intervallo di tredici eka. Nella terminologia del sistema dodecatonico, tale progressione si denominerebbe ciclo delle settime. 
In Armodue però l’intervallo critico di 968,83 cents (rapporto 7/4) viene rettificato a 975 cents che corrispondono a 13 eka (13 x 75 cents) e ad una "ottava" di Armodue (note 1-8). 
In Armodue si parlerà dunque del ciclo delle ottave per descrivere la progressione geometrica di sedici termini in ragione di 7/4. 

Ecco il ciclo delle ottave di Armodue:

Il ciclo delle ottave in Armodue ha le stesse implicazioni che ha il ciclo delle quinte nel sistema dodecatonico.

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